不等式の罠

私が最近悩んでいるテーマがある。数学というだけで頭が痛くなる人もいるのに、コラムに書くというのはどうかなと思ったが、なかなか面白いとも思われるので、私の陥った罠を皆さんに紹介したい。自分の中だけではなく公の場に出すのだから、勇み足になりそうな気もする。
「ａ＞ｂ≧ｃ」ならば「ａ＞ｃ」なのか、それとも「ａ≧ｃ」なのかというテーマである。大小を比較しているからａ、ｂ、ｃは実数であり、任意の定数と考える方が分かりよい。
（１）　ａ＞ｂ≧ｃならば「ａ＞ｃ」
ａ＞ｂ≧ｃは、ｃが最大でもｂにしかならず、ａ＞ｂであるから、ａ＞ｃが正しいようにみえる。この場合、ａ、ｂ、ｃは同時に二つの値をもたない数である。
それでは、この対偶を考えてみる。ご存知のように、対偶は命題の真偽を確かめる方法の一つである。「ａ＞ｃ」の否定は「ｃ≧ａ」になるが、ａ＞ｂ≧ｃの否定はややこしい。まず実数直線を三区分し、「＞」「≧」を区分間の位置ないし大小関係を表す記号とみる。ａ、ｂ、ｃがそれぞれの区分に含まれる定数とすれば、左を大、右を小と定義すると、ａ、ｂ、ｃが左からこの順番に並んでいることになり、一見この否定は「ａ≦ｂ＜ｃ（ｃ＞ｂ≧ａ）」になりそうだ。
とすれば対偶が「ｃ≧ａならばｃ＞ｂ≧ａ」となり、上と同様に考えれば、ａは最大でもｂにしかならず、ｃ＞ｂだからｃ＞ａになる他なく、ｃ≧ａとは矛盾する。
（２）　ａ＞ｂ≧ｃならば「ａ≧ｃ」
ａ＞ｂ≧ｃは、ｃが最大でもｂにしかならず、ａ＞ｂであるから、この論理を使えばａ≧ｃは矛盾する。だが対偶は三区分法で言えば、ｂはａｃを媒介する数と考えて、「ｃ＞ａならばｃ＞ｂ≧ａ」となり、整合性を持つようにみえる。
だとすれば両者いずれにしても矛盾を抱えていることになる。だが（１）（２）が共に真だとすれば、対偶も正しいことになりどちらも問題はなくなる。
つまり、命題の「ａ＞ｂ≧ｃ」は「ａ＞ｂかつｂ≧ｃ」で、「＞」「≧」は単に二数の大小を比較するだけでなく範囲を示す記号とみれば、「ａはｂより大きく、かつｂはｃ以上の数」となり、「ａはｃより大きい（ａ＞ｃ）」でも「ａはｃ以上の数（ａ≧ｃ）」でも成り立つだろう。
だがこれでも、ａ＞ｂ≧ｃの否定に不安が残る。「ａ＞ｂ≧ｃ」が「ａ＞ｂかつｂ≧ｃ」とすれば、否定は「ａ≦ｂまたはｂ＜ｃ」になり、「ａ≦ｂ」と「ｂ＜ｃ」が条件として切れてしまう。この場合、ａｂｃを同一直線上の数と見て「ａ≦ｂ＜ｃ（ｃ＞ｂ≧ａ）」にできるかどうか。やや強引かもしれないが、同一命題で使われている以上、「ａ≦ｂ」の「ｂ」が「ｂ＜ｃ」のそれと関連がないはずがないとも考えられる。
以上から、私は「ａ＞ｂ≧ｃ」ならば「ａ＞ｃ」または「ａ≧ｃ」であり、より範囲の広い「ａ≧ｃ」が妥当ではないかと考えている。おそまつ。